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2020这个一言难尽的开局，一个月基本都在刷手机和失眠里度过。后来weibo炸号，心里反而轻松了不少，说出来没用的话，不说也罢。
我们来仰望星空吧。
群表示论是物理系学生能接触到的数学里最美的分支之一。读研时一个晚上突然发现物理学里那些常用的正交函数族、Fourier变换与群表示论间有非常漂亮的联系，大概是读书时印象最深刻的一次顿悟。这里贴出一篇过去的有限群表示论笔记，谨以最美好的数学来对抗这段糟糕的日子。

\section{有限群表示论}
本章试图对有限群表示论给出一个简约清晰的介绍。

有限群表示论的一个基本问题是有限群表示的分类与求解。这将会导致如下经典结果：

\begin{enumerate}
\item 有限群表示是完全可约的，且可酉化;
\item 正则表示中包含了全部不可约表示，且其中全部不可约表示的数目等于其等价类数目,重数等于其维数;
\item Schur引理。不可约模间没有非平凡非同构的模同态;
\item 正交关系的导出;
\item 由特征标正交关系得出的不可约表示判定与可约表示约化。
\end{enumerate}

\subsection{主要概念}

\begin{definition}[群表示] 群 $G$ 的\textbf{表示}为一个同态 $\rho:G\to GL(V)$ ,其中 $V$ 为域 $F$ 上的有限维向量空间，这里若无特殊说明我们取 $F=C$ . $\dim_{F} V$ 称作\textbf{表示的维数};
若 $\ker \rho$ 平凡，则称该表示是\textbf{忠实的};若对所有 $g\in G,\rho(g)=\mathcal{E}$ ,则称表示为\textbf{平凡的}。
群表示可看作 $V$ 上的 $G$ -模。
\end{definition}

\begin{definition}[可约与不可约] 一个表示是\textbf{不可约}的如果它不具有恰当的不变子空间（即不可约子表示）;一个表示是\textbf{完全可约的}如果它可以分解为一系列不可约子表示的直和。
\end{definition}

\begin{definition}[正则表示] 考虑 $G$ 上复函数构成的向量空间 $\mathbb{C}(G)$ ,它的基底为 $\{\mathrm{e}_{g}\}_{g\in G}$ ,其中 $\mathrm{e}_g$ 表示一个在 $g$ 上值为 $1$ ，余皆为 $0$ 的函数。
则 $G$ 可以通过 $\mathbb{C}(G)$ 上的线性算子 $\lambda(g)$ 这样作用在基矢上

(1) $\begin{eqnarray*} \lambda(g)(\mathrm{e}_{h})=\mathrm{e}_{gh} \end{eqnarray*}$

则称 $\lambda(g)$ 为 $G$ 的\textbf{左正则表示}。
\end{definition}

\begin{definition}[G-线性映射] 设 $G$ 在 $U,V$ 上分别有表示 $\rho_1:G\to GL(U),\rho_2:G\to GL(V)$ ,且存在线性映射 $\sigma:U\to V$ ，满足

(2) $\begin{eqnarray*} \sigma\circ\rho_1(g)(u)=\rho_2(g)\circ\sigma(u),\forall u\in U,g\in G \end{eqnarray*}$

则称 $\sigma$ 为一个\textbf{ $G$ -线性映射}，或称\textbf{ $\sigma$ 与 $G$ 可交换}.若 $\sigma$ 可逆，则上式可写为

(3) $\begin{eqnarray*} \rho_1(g)=\sigma^{-1}\circ\rho_2\circ\sigma \end{eqnarray*}$

此时称 $\sigma$ 为\textbf{群表示的同构}。
用模的语言来说，G-线性映射正是一个模同态。
\end{definition}

\subsection{酉表示与可约性}
\begin{definition}[酉表示] 向量空间 $V$ 上的表示 $\rho$ 被称作\textbf{酉}的，如果 $V$ 装备了一个在 $G$ 作用下不变的厄米内积 $\Braket{\vert}$

(4) $\begin{eqnarray*} \Braket{v_1 \vert v_2}=\Braket{\rho(g)v_1 \vert \rho(g)v_2},\forall v_1,v_2\in V,g \in G \end{eqnarray*}$

表示称作\textbf{可酉化的}如果 $V$ 可以装备这样一个内积。

一个表示是酉的当且仅当同态 $\rho:G\to GL(V)$ 落在酉群 $U(V)$ 之中。该条件也可以表述为 $\rho^{\dagger}(g)=\rho(g^{-1})$ .
\end{definition}

\begin{lemma}[] 设 $V$ 为群 $G$ 的酉表示而 $W$ 为 $V$ 中的一个不变子空间，则 $W$ 的正交补 $W^{\bot}$ 也是一个不变子空间。
\end{lemma}
\begin{proof}
由于 $G$ 保持酉表示空间中的内积不变，于是对于 $w^{\prime}\in W^{\bot}$ ,它被任意 $g\in G$ 作用后的结果满足

(5) $\begin{eqnarray*} \Braket{\rho(g)(w) \vert \rho(g)(w^{\prime})}=\Braket{w \vert w^{\prime}}=0,\forall w\in W \end{eqnarray*}$

由于 $\rho(g)(w)\in W$ ,于是 $\rho(g)(w^{\prime})\in W^{\bot}$ .
\end{proof}

\begin{theorem}[酉表示的完全可约性] 设 $\rho:G\to GL(V)$ 为任意群 $G$ 上的有限维酉表示，则该表示完全可约，并且可约化为一系列不可约酉表示的直和。
\end{theorem}
\begin{proof}
首先，根据上述引理， $V$ 可以不断迭代地正交分解为一系列不变子空间的直和，这个分解必然终止于一系列不可约子空间。

然后， $V$ 上的厄米内积限制在各不可约子空间上，显然 $G$ 仍然保持这些子空间中的内积不变，因而 $V$ 被分解成了一系列不可约酉表示的直和。
\end{proof}

\subsection{有限群表示的完全可约性}
\begin{theorem}[有限群表示的酉性] 有限群的有限维复表示必可酉化。
\end{theorem}
\begin{proof}
只需找到一个 $G$ -不变的内积即可。

以下式从 $\Braket{\vert}$ 定义出一个新的 $G-$ 不变内积 $\Braket{\vert}^{\prime}$

(6) $\begin{eqnarray*} \Braket{w\vert v}^{\prime}=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\Braket{gv \vert gw} \end{eqnarray*}$

显然具有 $G$ -不变和正定性质，因而是一个 $G$ -不变的内积。
\end{proof}

\begin{theorem}[有限群表示的完全可约性] 有限群的有限维复表示必完全可约。
\end{theorem}
\begin{proof}
有限群的有限维复表示必可酉化，而酉表示必完全可约。
\end{proof}

下面给出上述定理的第二种证明，以期从不同的角度来理解这一结果。
\begin{lemma}[] 设 $V$ 为群 $G$ 在特征不整除 $|G|$ 的域 $F$ 上的有限维表示，则每个不变子空间 $W\subset V$ 都有一个不变的补空间 $W^{\prime}$ ，使得 $W^{\prime}\oplus W = V$ .
\end{lemma}
\begin{proof}
设 $\pi:V\to W$ 为 $V$ 到 $W$ 的投影算子，仍然通过在 $G$ 上平均的手法构造一个新的 $G$ -不变投影算子 $\pi^{\prime}$

(7) $\begin{eqnarray*} \pi^{\prime}\equiv \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g\circ \pi \circ g^{-1} \end{eqnarray*}$

容易验证 $\pi^{\prime}$ 有如下性质
\begin{enumerate}
\item $\pi^{\prime} \circ h = h \circ \pi^{\prime},\forall h\in G$
\item $\pi^{\prime}=\id \quad on \, W$
\item $\img \pi^{\prime}=W$
\end{enumerate}
可见 $\pi^{\prime}$ 是一个 $V\to W$ 的 $G$ -线性映射，或者说一个模同态。

由第一条性质知道 $W^{\prime\prime}\equiv \ker \pi^{\prime}$ 是一个不变子空间；由第二条性质知道 $W^{\prime\prime} \bigcap W = 0$ ;由第三条性质得 $\dim W + \dim W^{\prime\prime} = \dim V$ ,
即 $W^{\prime\prime}\oplus W = V$ .
\end{proof}

\subsection{Schur引理}
\begin{theorem}[Schur引理] 设 $\rho_V,\rho_W$ 为群 $G$ 的有限维不可约表示，设 $\sigma:V\to W$ 是一个 $G$ -线性映射，则有
\begin{enumerate}
\item 若两表示不等价，则 $\sigma=0$ ;
\item 当 $V=W,\rho_V=\rho_W$ 时， $\sigma=\lambda \id$ 。
\end{enumerate}
\end{theorem}\label{SchursLemma}
\begin{proof}
$\sigma$ 是一个 $G$ -线性映射，因此 $\ker \sigma$ 与 $\img \sigma$ 均为不变子空间，但考虑到 $V,W$ 都是不可约表示，不包含任何非平凡子空间，因此只有如下两种可能性
\begin{enumerate}
\item $\ker \sigma=0,\img \sigma=W$ , $\sigma$ 为表示同构；
\item $\ker \sigma=V,\img \sigma=0$ , $\sigma$ 为零映射。
\end{enumerate}
因此第一条得证。

当 $V=W$ 时，由于 $\sigma$ 与 $G$ 对易，因此 $\sigma$ 的本征子空间 $E_{\sigma}$ 是不变子空间，又由 $V$ 的不可约性有 $E_{\sigma}=V$ ,因此 $\sigma=\lambda \id$ .
\end{proof}

\subsection{特征标与第一正交关系}
\begin{theorem}[] 设 $\rho_V,\rho_W$ 为群 $G$ 的有限维不可约表示，设 $\sigma:V\to W$ 是一个线性映射.我们由 $\sigma$ 构造映射 $\tilde{\sigma}$

(8) $\begin{eqnarray*} \tilde{\sigma}=\frac{1}{|G|}\sum_{G}\rho_W(g) \circ \sigma \circ \rho_V(g)^{-1} \end{eqnarray*}$

则 $\tilde{\sigma}$ 满足如下性质
\begin{enumerate}
\item 若两表示不等价，则 $\tilde{\sigma}=0$ ;
\item 当 $V=W,\rho_V=\rho_W$ 时， $\sigma=\lambda \id,\lambda = \frac{\tr \sigma}{\dim V}$ 。
\end{enumerate}
\end{theorem}\label{SchurOrth}
\begin{proof}
易证

(9) $\begin{eqnarray*} \rho_W(g) \circ \tilde{\sigma} \circ \rho_V^{-1} = \tilde{\sigma} \end{eqnarray*}$

即 $\rho_W(g) \circ \tilde{\sigma} = \tilde{\sigma}\circ \rho_V$ ,可见 $\tilde{\sigma}$ 是个 $G$ -线性映射，从而由??得出两个断言。
关于 $\lambda$ 的取值，可以这样计算出来

(10) $\begin{eqnarray*} \tr \tilde{\sigma}&\xlongequal{1}& |G|^{-1}\sum_G \tr \rho(g)\ \circ \sigma \circ \rho(g)^{-1}\\ &=&|G|^{-1}\sum_G \tr \sigma=\tr\sigma\\ &\xlongequal{2}& \tr \lambda \mathcal{E} = (\dim V)\lambda\\ &\Rightarrow& \lambda=\frac{\tr \sigma}{\dim V} \end{eqnarray*}$

\end{proof}

考虑群 $G$ 上的复函数空间，我们在其中定义任意两个复函数 $\phi,\psi$ 的内积

(11) $\begin{eqnarray*} \Braket{\phi\vert\psi} \equiv \frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\phi}(g)\psi(g) \end{eqnarray*}$

\begin{definition}[特征标] 一个表示 $\rho$ 的\textbf{特征标} $\chi_{\rho}:G\to \mathbb{C}$ 定义为

(12) $\begin{eqnarray*} \chi_{\rho}(g)\equiv \tr \rho(g) \end{eqnarray*}$

\end{definition}

可以证明特征标是一个完备不变量，可以在同构的意义上对不可约表示进行分类。
\begin{theorem}[特征标的基本性质] 特征标具有以下性质
\begin{enumerate}
\item 特征标是类函数， $\chi(g)=\chi(hgh^{-1}),\forall g,h \in G$
\item $\chi(1)=\dim V$
\item $\chi(g^{-1})=\bar{\chi}(g)$
\item 对于任意两个表示 $V,W$ , $\chi_{V\oplus W}=\chi_V+\chi_W,\chi_{V\otimes W}=\chi_V * \chi_W$
\item 对于对偶表示 $V^{*}$ ,有 $\chi_{V^{*}}(g)=\chi_V(g^{-1})$
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
显然。
\end{proof}

\begin{theorem}[第一正交关系] 特征标满足如下正交关系
\begin{enumerate}
\item 若 $\rho_V$ 是不可约的，则 $\Vert\chi_{V}\Vert=1$ ;
\item 若 $\rho_V,\rho_W$ 不可约且不同构，则 $\Braket{\chi_W\vert \chi_V}=0$ .
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
作如下计算

(13) $\begin{eqnarray*} \Braket{\chi_V\vert \chi_W}&=&\frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\chi}_V(g)*\chi_W(g)\\ &=&\frac{1}{|G|}\sum_G \chi_W(g) * \chi_V(g^{-1})\\ &=&\frac{1}{|G|}\sum_{G,i,j} \Braket{w_i\vert \rho_W(g) \vert w_i} \Braket{v_j \vert \rho_V(g^{-1}) \vert v_j}\\ &=&\sum_{i,j} \bra{w_i} \frac{1}{|G|}\sum_{G} [\rho_W(g) \ket{w_i} \bra{v_j} \rho_V(g^{-1})] \ket{v_j}\\ \end{eqnarray*}$

由??,令 $\sigma = \ket{w_i} \bra{v_j}$ ，可知 $V,W$ 不等价时上述内积为零，若 $V,W$ 等价则有

(14) $\begin{eqnarray*} &=&\sum_{i,j} \frac{1}{\dim V}\Braket{v_i\vert v_j}\\ &=&1 \end{eqnarray*}$

\end{proof}

于是我们有如下结论。
\begin{theorem}[] 对于有限群的复表示，我们有
\begin{enumerate}
\item 不可约表示 $V$ 在表示 $W$ 中的重数等于 $\Braket{\chi_V\vert \chi_W}$ ;
\item 两表示同构当且仅当它们具有相同的特征标;
\item $\Vert \chi \Vert^2$ 总是一个整数， $V$ 不可约当且仅当 $\Vert \chi_V \Vert^2=1$ ;
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
考虑表示 $W$ 的不可约分解，我们最终要证明如下等价关系

(15) $\begin{eqnarray*} W=\oplus_i V_i^{\oplus m_i} \iff \chi_W=\sum_i m_i\chi_{V_i} \end{eqnarray*}$

\label{RepRingCharCorrespondence}
证明上式的正向箭头是显然的，由于不可约表示特征标的正交性，不可约表示 $V_k$ 在 $W$ 中的重数可这样计算

(16) $\begin{eqnarray*} m_k=\Braket{\chi_{V_k}\vert \chi_W} \end{eqnarray*}$

这就证明了第二条.

考虑??的逆向箭头，对于任意不可约表示 $V_i$ ,都可以通过 $\Braket{\chi_{V_i}\vert \chi_W}$ 计算出它在 $W$ 中的重数，从而可以根据特征标重建出 $W$ 的不可约分解，因而逆向箭头成立，第二条命题也得证。

对于不可约表示 $V_i$ ,必有 $\Vert \chi_{V_i} \Vert = 1$ .可以算出

(17) $\begin{eqnarray*} \Vert \chi_W \Vert^2=\sum_i m_i，m_i\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

可见 $\Vert \chi \Vert^2$ 必为整数， $\Vert \chi \Vert = 1$ 时必然意味着该表示不可约。第三条证毕。
\end{proof}

\subsection{正则表示}

\begin{proposition}[] 对于正则表示 $\lambda$ ,我们有如下结果
\begin{enumerate}
\item

(18) $\begin{eqnarray*} \chi_{reg}(g)= \begin{cases} |G|,&if\quad g=e\cr 0,& otherwise \end{cases} \end{eqnarray*}$

\item 任意不可约表示 $\rho_V$ 在 $\lambda$ 中的重数等于 $\dim V$ ;
\item 全部不可约表示的维数平方和等于群的阶，即 $\sum_V \dim^2_V=|G|$ .
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
第一条：正则表示下除了单位元 $e$ ，任何群元都没有非零对角元；

第二条： $\Braket{\chi_V \vert \chi_{reg}}=\frac{1}{|G|}\chi_V(e)\chi_{reg}(e)=\chi_V(e)=\dim V$ ;

第三条：显然。
\end{proof}

现在我们已经证明了不可约表示特征标是一组正交归一向量，接下来我们可以进一步证明它们在类函数空间里是完备的。
证明的基本思路就是假设类函数 $\phi$ 正交于所有的不可约表示特征标，说明它必为零，从而不存在这样非平凡的 $\phi$ 。

对于任意函数 $\phi:G\to \mathbb{C}$ 和 $G$ 的任意表示 $\rho_V$ ，定义如下 $V$ 的自映射 $\rho(\phi)$

(19) $\begin{eqnarray*} \rho(\phi)\equiv \sum_G \bar{\phi}(g)\rho(g) \end{eqnarray*}$

上述自映射有如下性质
\begin{lemma}[] $\phi$ 是个类函数当且仅当在任何表示下 $\rho(\phi)$ 与 $G$ 对易。
\end{lemma}
\begin{proof}
首先假设 $\phi$ 是个类函数，即 $\phi(h^{-1}gh)=\phi(g),\forall g,h\in G$ ,则有

(20) $\begin{eqnarray*} \rho(h)\rho(\phi)\rho(h^{-1})=\sum_G \bar{\phi}(g)\rho(hgh^{-1})=\sum_G \bar{\phi}(h^{-1}gh)\rho(g)=\sum_G \bar{\phi}(g)\rho(g)=\rho(\phi) \end{eqnarray*}$

然后假设任何表示下 $\rho(\phi)$ 与 $G$ 对易，取 $\rho_V$ 为正则表示 $\lambda$ ,有

(21) $\begin{eqnarray*} \lambda(h)\rho(\phi)(\mathrm{e}_1)&=&\sum_G \bar{\phi}(g)\mathrm{e}_{hg}=\sum_G \bar{\phi}(h^{-1}g)\mathrm{e}_g\\ \rho(\phi)\lambda(h)(\mathrm{e}_1)&=&\sum_G \bar{\phi}(g)\mathrm{e}_{gh}=\sum_G \bar{\phi}(gh^{-1})\mathrm{e}_g \end{eqnarray*}$

由对易假设知两式相等，从而有 $\phi(h^{-1}g)=\phi(gh^{-1})$ ,证毕。
\end{proof}

当 $\phi$ 是类函数且 $\rho_V$ 不可约时，Schur引理告诉我们 $\rho(\phi)$ 是个常数映射.我们取迹以计算它

(22) $\begin{eqnarray*} \tr \rho(\phi)&=&\sum_G \bar{\phi}(g)\chi_V(g)=|G|\Braket{\phi \vert \chi_V}\\ \Rightarrow \rho(\phi)&=&\frac{|G|}{\dim V}\cdot\Braket{\phi \vert \chi_V}\cdot\id \end{eqnarray*}$

\begin{theorem}[] 不可约表征标是类函数空间的一组完备基。
\end{theorem}
\begin{proof}
假设类函数 $\phi$ 正交于所有的不可约表示特征标，则在任何不可约表示或完全可约表示上有 $\rho(\phi)=0$ ,

考虑正则表示，

(23) $\begin{eqnarray*} \rho(\phi)(\mathrm{e}_1)=\sum_G \phi(g)\mathrm{e}_g=0 \Rightarrow \phi(g)=0 \end{eqnarray*}$

证毕。
\end{proof}

\subsection{第二正交关系}
我们考虑第一正交关系，有

(24) $\begin{eqnarray*} &&\frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\chi}_r(g)\chi_s(g)=\delta_{rs}\\ &\Rightarrow&\frac{1}{|G|}\sum_C |c|\bar{\chi}_r(c)\chi_s(c)=\delta_{rs}\\ &\Rightarrow&\sum_C \bar{T}_{rc}T_{cs}=\delta_{rs},T_{rc}\equiv \sqrt{\frac{|c|}{|G|}}\chi_r(c) \end{eqnarray*}$

可见 $T$ 是一个酉矩阵，第一正交关系正是说该矩阵的行向量相互正交。我们知道酉矩阵的行与列均正交，于是可以得出列向量的正交关系

(25) $\begin{eqnarray*} \sum_R \frac{|c|}{|G|}\bar{\chi}_r(c)\chi_r(c^{\prime})=\delta_{cc^{\prime}} \end{eqnarray*}$

其中 $R$ 为所有的不可约表示集合。

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Notes on Representation Theory of Finite Groups