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Notes on Representation Theory of Finite Groups

2020这个一言难尽的开局,一个月基本都在刷手机和失眠里度过。后来weibo炸号,心里反而轻松了不少,说出来没用的话,不说也罢。
我们来仰望星空吧。
群表示论是物理系学生能接触到的数学里最美的分支之一。读研时一个晚上突然发现物理学里那些常用的正交函数族、Fourier变换与群表示论间有非常漂亮的联系,大概是读书时印象最深刻的一次顿悟。这里贴出一篇过去的有限群表示论笔记,谨以最美好的数学来对抗这段糟糕的日子。

\section{有限群表示论}
本章试图对有限群表示论给出一个简约清晰的介绍。

有限群表示论的一个基本问题是有限群表示的分类与求解。这将会导致如下经典结果:

\begin{enumerate}
\item 有限群表示是完全可约的,且可酉化;
\item 正则表示中包含了全部不可约表示,且其中全部不可约表示的数目等于其等价类数目,重数等于其维数;
\item Schur引理。不可约模间没有非平凡非同构的模同态;
\item 正交关系的导出;
\item 由特征标正交关系得出的不可约表示判定与可约表示约化。
\end{enumerate}

\subsection{主要概念}

\begin{definition}[群表示] 群G的\textbf{表示}为一个同态\rho:G\to GL(V),其中V为域F上的有限维向量空间,这里若无特殊说明我们取F=C.\dim_{F} V称作\textbf{表示的维数};
\ker \rho平凡,则称该表示是\textbf{忠实的};若对所有g\in G,\rho(g)=\mathcal{E},则称表示为\textbf{平凡的}。
群表示可看作V上的G-模。
\end{definition}

\begin{definition}[可约与不可约] 一个表示是\textbf{不可约}的如果它不具有恰当的不变子空间(即不可约子表示);一个表示是\textbf{完全可约的}如果它可以分解为一系列不可约子表示的直和。
\end{definition}

\begin{definition}[正则表示] 考虑G上复函数构成的向量空间\mathbb{C}(G),它的基底为\{\mathrm{e}_{g}\}_{g\in G},其中\mathrm{e}_g表示一个在g上值为1,余皆为0的函数。
G可以通过\mathbb{C}(G)上的线性算子\lambda(g)这样作用在基矢上

(1)   \begin{eqnarray*} \lambda(g)(\mathrm{e}_{h})=\mathrm{e}_{gh} \end{eqnarray*}

则称\lambda(g)G的\textbf{左正则表示}。
\end{definition}

\begin{definition}[G-线性映射] 设GU,V上分别有表示\rho_1:G\to GL(U),\rho_2:G\to GL(V),且存在线性映射\sigma:U\to V,满足

(2)   \begin{eqnarray*} \sigma\circ\rho_1(g)(u)=\rho_2(g)\circ\sigma(u),\forall u\in U,g\in G \end{eqnarray*}

则称\sigma为一个\textbf{G-线性映射},或称\textbf{\sigmaG可交换}.若\sigma可逆,则上式可写为

(3)   \begin{eqnarray*} \rho_1(g)=\sigma^{-1}\circ\rho_2\circ\sigma \end{eqnarray*}

此时称\sigma为\textbf{群表示的同构}。
用模的语言来说,G-线性映射正是一个模同态。
\end{definition}

\subsection{酉表示与可约性}
\begin{definition}[酉表示] 向量空间V上的表示\rho被称作\textbf{酉}的,如果V装备了一个在G作用下不变的厄米内积\Braket{\vert}

(4)   \begin{eqnarray*} \Braket{v_1 \vert v_2}=\Braket{\rho(g)v_1 \vert \rho(g)v_2},\forall v_1,v_2\in V,g \in G \end{eqnarray*}

表示称作\textbf{可酉化的}如果V可以装备这样一个内积。

一个表示是酉的当且仅当同态\rho:G\to GL(V)落在酉群U(V)之中。该条件也可以表述为\rho^{\dagger}(g)=\rho(g^{-1}).
\end{definition}

\begin{lemma}[] 设V为群G的酉表示而WV中的一个不变子空间,则W的正交补W^{\bot}也是一个不变子空间。
\end{lemma}
\begin{proof}
由于G保持酉表示空间中的内积不变,于是对于w^{\prime}\in W^{\bot},它被任意g\in G作用后的结果满足

(5)   \begin{eqnarray*} \Braket{\rho(g)(w) \vert \rho(g)(w^{\prime})}=\Braket{w \vert w^{\prime}}=0,\forall w\in W \end{eqnarray*}

由于\rho(g)(w)\in W,于是\rho(g)(w^{\prime})\in W^{\bot}.
\end{proof}

\begin{theorem}[酉表示的完全可约性] 设\rho:G\to GL(V)为任意群G上的有限维酉表示,则该表示完全可约,并且可约化为一系列不可约酉表示的直和。
\end{theorem}
\begin{proof}
首先,根据上述引理,V可以不断迭代地正交分解为一系列不变子空间的直和,这个分解必然终止于一系列不可约子空间。

然后,V上的厄米内积限制在各不可约子空间上,显然G仍然保持这些子空间中的内积不变,因而V被分解成了一系列不可约酉表示的直和。
\end{proof}

\subsection{有限群表示的完全可约性}
\begin{theorem}[有限群表示的酉性] 有限群的有限维复表示必可酉化。
\end{theorem}
\begin{proof}
只需找到一个G-不变的内积即可。

以下式从\Braket{\vert}定义出一个新的G-不变内积\Braket{\vert}^{\prime}

(6)   \begin{eqnarray*} \Braket{w\vert v}^{\prime}=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\Braket{gv \vert gw} \end{eqnarray*}

显然具有G-不变和正定性质,因而是一个G-不变的内积。
\end{proof}

\begin{theorem}[有限群表示的完全可约性] 有限群的有限维复表示必完全可约。
\end{theorem}
\begin{proof}
有限群的有限维复表示必可酉化,而酉表示必完全可约。
\end{proof}

下面给出上述定理的第二种证明,以期从不同的角度来理解这一结果。
\begin{lemma}[] 设V为群G在特征不整除|G|的域F上的有限维表示,则每个不变子空间W\subset V都有一个不变的补空间W^{\prime},使得W^{\prime}\oplus W = V.
\end{lemma}
\begin{proof}
\pi:V\to WVW的投影算子,仍然通过在G上平均的手法构造一个新的G-不变投影算子\pi^{\prime}

(7)   \begin{eqnarray*} \pi^{\prime}\equiv \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} g\circ \pi \circ g^{-1} \end{eqnarray*}

容易验证\pi^{\prime}有如下性质
\begin{enumerate}
\item \pi^{\prime} \circ h = h \circ \pi^{\prime},\forall h\in G
\item \pi^{\prime}=\id \quad on \, W
\item \img \pi^{\prime}=W
\end{enumerate}
可见\pi^{\prime}是一个V\to WG-线性映射,或者说一个模同态。

由第一条性质知道W^{\prime\prime}\equiv \ker \pi^{\prime}是一个不变子空间;由第二条性质知道W^{\prime\prime} \bigcap W = 0;由第三条性质得\dim W + \dim W^{\prime\prime} = \dim V,
W^{\prime\prime}\oplus W = V.
\end{proof}

\subsection{Schur引理}
\begin{theorem}[Schur引理] 设\rho_V,\rho_W为群G的有限维不可约表示,设\sigma:V\to W是一个G-线性映射,则有
\begin{enumerate}
\item 若两表示不等价,则\sigma=0;
\item 当V=W,\rho_V=\rho_W时,\sigma=\lambda \id
\end{enumerate}
\end{theorem}\label{SchursLemma}
\begin{proof}
\sigma是一个G-线性映射,因此\ker \sigma\img \sigma均为不变子空间,但考虑到V,W都是不可约表示,不包含任何非平凡子空间,因此只有如下两种可能性
\begin{enumerate}
\item \ker \sigma=0,\img \sigma=W,\sigma为表示同构;
\item \ker \sigma=V,\img \sigma=0,\sigma为零映射。
\end{enumerate}
因此第一条得证。

V=W时,由于\sigmaG对易,因此\sigma的本征子空间E_{\sigma}是不变子空间,又由V的不可约性有E_{\sigma}=V,因此\sigma=\lambda \id.
\end{proof}

\subsection{特征标与第一正交关系}
\begin{theorem}[] 设\rho_V,\rho_W为群G的有限维不可约表示,设\sigma:V\to W是一个线性映射.我们由\sigma构造映射\tilde{\sigma}

(8)   \begin{eqnarray*} \tilde{\sigma}=\frac{1}{|G|}\sum_{G}\rho_W(g) \circ \sigma \circ \rho_V(g)^{-1} \end{eqnarray*}

\tilde{\sigma}满足如下性质
\begin{enumerate}
\item 若两表示不等价,则\tilde{\sigma}=0;
\item 当V=W,\rho_V=\rho_W时,\sigma=\lambda \id,\lambda = \frac{\tr \sigma}{\dim V}
\end{enumerate}
\end{theorem}\label{SchurOrth}
\begin{proof}
易证

(9)   \begin{eqnarray*} \rho_W(g) \circ \tilde{\sigma} \circ \rho_V^{-1} = \tilde{\sigma} \end{eqnarray*}

\rho_W(g) \circ \tilde{\sigma} = \tilde{\sigma}\circ \rho_V,可见\tilde{\sigma}是个G-线性映射,从而由??得出两个断言。
关于\lambda的取值,可以这样计算出来

(10)   \begin{eqnarray*} \tr \tilde{\sigma}&\xlongequal{1}& |G|^{-1}\sum_G \tr \rho(g)\ \circ \sigma \circ \rho(g)^{-1}\\ &=&|G|^{-1}\sum_G \tr \sigma=\tr\sigma\\ &\xlongequal{2}& \tr \lambda \mathcal{E} = (\dim V)\lambda\\ &\Rightarrow& \lambda=\frac{\tr \sigma}{\dim V} \end{eqnarray*}

\end{proof}

考虑群G上的复函数空间,我们在其中定义任意两个复函数\phi,\psi的内积

(11)   \begin{eqnarray*} \Braket{\phi\vert\psi} \equiv \frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\phi}(g)\psi(g) \end{eqnarray*}

\begin{definition}[特征标] 一个表示\rho的\textbf{特征标}\chi_{\rho}:G\to \mathbb{C}定义为

(12)   \begin{eqnarray*} \chi_{\rho}(g)\equiv \tr \rho(g) \end{eqnarray*}

\end{definition}

可以证明特征标是一个完备不变量,可以在同构的意义上对不可约表示进行分类。
\begin{theorem}[特征标的基本性质] 特征标具有以下性质
\begin{enumerate}
\item 特征标是类函数,\chi(g)=\chi(hgh^{-1}),\forall g,h \in G
\item \chi(1)=\dim V
\item \chi(g^{-1})=\bar{\chi}(g)
\item 对于任意两个表示V,W,\chi_{V\oplus W}=\chi_V+\chi_W,\chi_{V\otimes W}=\chi_V * \chi_W
\item 对于对偶表示V^{*},有\chi_{V^{*}}(g)=\chi_V(g^{-1})
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
显然。
\end{proof}

\begin{theorem}[第一正交关系] 特征标满足如下正交关系
\begin{enumerate}
\item 若\rho_V是不可约的,则\Vert\chi_{V}\Vert=1;
\item 若\rho_V,\rho_W不可约且不同构,则\Braket{\chi_W\vert \chi_V}=0.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
作如下计算

(13)   \begin{eqnarray*} \Braket{\chi_V\vert \chi_W}&=&\frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\chi}_V(g)*\chi_W(g)\\ &=&\frac{1}{|G|}\sum_G \chi_W(g) * \chi_V(g^{-1})\\ &=&\frac{1}{|G|}\sum_{G,i,j} \Braket{w_i\vert \rho_W(g) \vert w_i} \Braket{v_j \vert \rho_V(g^{-1}) \vert v_j}\\ &=&\sum_{i,j} \bra{w_i} \frac{1}{|G|}\sum_{G} [\rho_W(g) \ket{w_i} \bra{v_j} \rho_V(g^{-1})] \ket{v_j}\\ \end{eqnarray*}

由??,令\sigma = \ket{w_i} \bra{v_j},可知V,W不等价时上述内积为零,若V,W等价则有

(14)   \begin{eqnarray*} &=&\sum_{i,j} \frac{1}{\dim V}\Braket{v_i\vert v_j}\\ &=&1 \end{eqnarray*}

\end{proof}

于是我们有如下结论。
\begin{theorem}[] 对于有限群的复表示,我们有
\begin{enumerate}
\item 不可约表示V在表示W中的重数等于\Braket{\chi_V\vert \chi_W};
\item 两表示同构当且仅当它们具有相同的特征标;
\item \Vert \chi \Vert^2总是一个整数,V不可约当且仅当\Vert \chi_V \Vert^2=1;
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
考虑表示W的不可约分解,我们最终要证明如下等价关系

(15)   \begin{eqnarray*} W=\oplus_i V_i^{\oplus m_i} \iff \chi_W=\sum_i m_i\chi_{V_i} \end{eqnarray*}

\label{RepRingCharCorrespondence}
证明上式的正向箭头是显然的,由于不可约表示特征标的正交性,不可约表示V_kW中的重数可这样计算

(16)   \begin{eqnarray*} m_k=\Braket{\chi_{V_k}\vert \chi_W} \end{eqnarray*}

这就证明了第二条.

考虑??的逆向箭头,对于任意不可约表示V_i,都可以通过\Braket{\chi_{V_i}\vert \chi_W}计算出它在W中的重数,从而可以根据特征标重建出W的不可约分解,因而逆向箭头成立,第二条命题也得证。

对于不可约表示V_i,必有\Vert \chi_{V_i} \Vert = 1.可以算出

(17)   \begin{eqnarray*} \Vert \chi_W \Vert^2=\sum_i m_i,m_i\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}

可见\Vert \chi \Vert^2必为整数,\Vert \chi \Vert = 1时必然意味着该表示不可约。第三条证毕。
\end{proof}

\subsection{正则表示}

\begin{proposition}[] 对于正则表示\lambda,我们有如下结果
\begin{enumerate}
\item

(18)   \begin{eqnarray*} \chi_{reg}(g)= \begin{cases} |G|,&if\quad g=e\cr 0,& otherwise \end{cases} \end{eqnarray*}

\item 任意不可约表示\rho_V\lambda中的重数等于\dim V;
\item 全部不可约表示的维数平方和等于群的阶,即\sum_V \dim^2_V=|G|.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
第一条: 正则表示下除了单位元e,任何群元都没有非零对角元;

第二条: \Braket{\chi_V \vert \chi_{reg}}=\frac{1}{|G|}\chi_V(e)\chi_{reg}(e)=\chi_V(e)=\dim V;

第三条: 显然。
\end{proof}

现在我们已经证明了不可约表示特征标是一组正交归一向量,接下来我们可以进一步证明它们在类函数空间里是完备的。
证明的基本思路就是假设类函数\phi正交于所有的不可约表示特征标,说明它必为零,从而不存在这样非平凡的\phi

对于任意函数\phi:G\to \mathbb{C}G的任意表示\rho_V,定义如下V的自映射\rho(\phi)

(19)   \begin{eqnarray*} \rho(\phi)\equiv \sum_G \bar{\phi}(g)\rho(g) \end{eqnarray*}

上述自映射有如下性质
\begin{lemma}[] \phi是个类函数当且仅当在任何表示下\rho(\phi)G对易。
\end{lemma}
\begin{proof}
首先假设\phi是个类函数,即\phi(h^{-1}gh)=\phi(g),\forall g,h\in G,则有

(20)   \begin{eqnarray*} \rho(h)\rho(\phi)\rho(h^{-1})=\sum_G \bar{\phi}(g)\rho(hgh^{-1})=\sum_G \bar{\phi}(h^{-1}gh)\rho(g)=\sum_G \bar{\phi}(g)\rho(g)=\rho(\phi) \end{eqnarray*}

然后假设任何表示下\rho(\phi)G对易,取\rho_V为正则表示\lambda,有

(21)   \begin{eqnarray*} \lambda(h)\rho(\phi)(\mathrm{e}_1)&=&\sum_G \bar{\phi}(g)\mathrm{e}_{hg}=\sum_G \bar{\phi}(h^{-1}g)\mathrm{e}_g\\ \rho(\phi)\lambda(h)(\mathrm{e}_1)&=&\sum_G \bar{\phi}(g)\mathrm{e}_{gh}=\sum_G \bar{\phi}(gh^{-1})\mathrm{e}_g \end{eqnarray*}

由对易假设知两式相等,从而有\phi(h^{-1}g)=\phi(gh^{-1}),证毕。
\end{proof}

\phi是类函数且\rho_V不可约时,Schur引理告诉我们\rho(\phi)是个常数映射.我们取迹以计算它

(22)   \begin{eqnarray*} \tr \rho(\phi)&=&\sum_G \bar{\phi}(g)\chi_V(g)=|G|\Braket{\phi \vert \chi_V}\\ \Rightarrow \rho(\phi)&=&\frac{|G|}{\dim V}\cdot\Braket{\phi \vert \chi_V}\cdot\id \end{eqnarray*}

\begin{theorem}[] 不可约表征标是类函数空间的一组完备基。
\end{theorem}
\begin{proof}
假设类函数\phi正交于所有的不可约表示特征标,则在任何不可约表示或完全可约表示上有\rho(\phi)=0,

考虑正则表示,

(23)   \begin{eqnarray*} \rho(\phi)(\mathrm{e}_1)=\sum_G \phi(g)\mathrm{e}_g=0 \Rightarrow \phi(g)=0 \end{eqnarray*}

证毕。
\end{proof}

\subsection{第二正交关系}
我们考虑第一正交关系,有

(24)   \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{|G|}\sum_G \bar{\chi}_r(g)\chi_s(g)=\delta_{rs}\\ &\Rightarrow&\frac{1}{|G|}\sum_C |c|\bar{\chi}_r(c)\chi_s(c)=\delta_{rs}\\ &\Rightarrow&\sum_C \bar{T}_{rc}T_{cs}=\delta_{rs},T_{rc}\equiv \sqrt{\frac{|c|}{|G|}}\chi_r(c) \end{eqnarray*}

可见T是一个酉矩阵,第一正交关系正是说该矩阵的行向量相互正交。我们知道酉矩阵的行与列均正交,于是可以得出列向量的正交关系

(25)   \begin{eqnarray*} \sum_R \frac{|c|}{|G|}\bar{\chi}_r(c)\chi_r(c^{\prime})=\delta_{cc^{\prime}} \end{eqnarray*}

其中R为所有的不可约表示集合。